Faire le pied de grue ...

Gruer,  au 17è s.,  c'est attendre.

Référence à la grue, oiseau aux longues pattes qui reste  très longtemps sans bouger. 

Avoir fait le pied de grue,

c'est   avoir attendu,  à l'endroit précis du rendez-vous, quelqu'un qui n'est  pas venu.

On s'est senti un peu bête de rester si longtemps sans bouger comme la grue*,  immobile et le plus souvent sur une seule patte, comme si, en somme, on nous avait posé un lapin !

Pas très flatteur ...

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* Par extension, le qualificatif de grue est attribué à la prostituée qui attend le client sur le trottoir.

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